Предмет: математика
Класс: 3 класс
Учебник: «Математика» 2 часть.
Тема: Виды треугольников
Тип урока: открытие новых знаний
Цель: Научить определять виды треугольников по измерениям длин их сторон.
Задачи :
1)Актуализировать знания о геометрических фигурах - прямоугольник, квадрат, треугольник.
2)Актуализировать сложение и вычитание трёхзначных чисел, деление двузначного числа на однозначное, двузначное и круглое; умножение двузначного на однозначное число.
3)Ввести термины: равнобедренный, равносторонний, разносторонний треугольник.
Ход урока
1.Мотивация к учебной деятельности
Посмотрите, скажите, что это такое?
(пирамида)
Скажите, из чего она состоит? (из частей, уровней …)
Можно ли эту пирамиду сравнить с нашим знанием? (да)
Каждый день вы строите всё новые и новые пирамиды, каждый уровень пирамиды- это новое знание, которое вы получаете на уроке. А что будет с пирамидой, если мы уберём синий уровень? (Она разрушиться, станет меньше.)
А как из-за чего может разрушиться наша пирамида знаний? (Из-за не выполненного д/з, пропусков уроков, не внимательно слушать учителя.)
Что нужно делать, чтобы наша пирамида становилась прочнее, росла? (Учить уроки, хорошо работать на уроке, выполнять д/з, не прогуливать школу.)
Ребята, вы сказали всё верно. А теперь давайте представим, что наша пирамида отбросила тень. Скажите, на какую геометрическую фигуру тень похожа?
(На треугольник.)
Сегодня мы продолжим работать с такой геометрической фигурой, как треугольник.
2.Актуальзация знаний и фиксация затруднений в проблемной ситуации
С какими геометрическими фигурами вы знакомы? (квадрат, прямоугольник, треугольник).
На доске таблица, заполните её, опираясь на свои знания (у каждого обучающегося карточка с такой таблицей):
Как называются первые две геометрические фигуры? (прямоугольник и квадрат, одним словом это четырёхугольники.)
Скажите, какие виды четырёхугольников вы знаете? Ответить на этот вопрос вам поможет изображение их на слайде.
Названия четырёхугольников появляются после ответов детей.
(ромб, квадрат, прямоугольник, трапеция, параллелограмм - называют их по изображениям на слайде или доске.)
Можете ли вы сказать, что такое прямоугольник, а что такое квадрат?
(Прямоугольник - четырёхугольник, у которого все углы прямые.
Квадрат - это прямоугольник, у которого все стороны равны)
Найдите лишнюю геометрическую фигуру, опираясь на результаты таблицы. (Треугольник).
Хорошо, четырёхугольники все очень разные, а что вы знаете о треугольнике? (Треугольники бывают: остроугольные, тупоугольные, прямоугольные.)
Что вы ещё знаете о треугольнике? (Определение)
Треугольник - это геометрическая фигура, у которой 3 угла, 3 вершины, 3 стороны.
Заполните следующую таблицу, опираясь на свои знания:
(Учитель заполняет таблицу в соответствии ответам детей. В колонках «название» возникают разные мнения, а некоторые дети оставляют их пустыми.)
3.Выявление места и причины затруднения.
Какое задание вы выполняли? (Заполни таблицу.)
Где возникло затруднение? (При записи названий треугольников)
Почему возникло затруднение? (Не знаем как они называются)
Какую цель урока нужно поставить? (Узнать, какие ещё есть виды треугольников кроме изученных (тупоугольный, остроугольный, прямоугольный) , научиться определять эти виды у треугольников.)
Какая тема нашего урока? (Виды треугольников)
4.Открытие нового знания.
Давайте вернёмся к таблице.
Впишем размеры сторон треугольников. (Вписывают.)
Хорошо, а сейчас посмотрите и скажите, что вы заметили? (У первого треугольника все стороны равны, у второго 2 стороны равны, а у третьего все стороны разные.)
Верно, а можете ли вы придумать названия этим треугольникам, основываясь на том объяснении, которое вы сейчас дали? (Да)
Как вы назовёте треугольник, у которого все стороны равные? Придумай прилагательное, состоящее из 2х слов: равные стороны. (Равносторонний)
Как назвать треугольник, у которого все стороны различные? (Разносторонний)
Как называется треугольник, у которого 2 стороны равные? (Дети сомневаются, чтобы ответить на этот вопрос они пользуются учебником с.73) (Равнобедренный) А какой ещё треугольник можем назвать равнобедренным? (Равносторонний)
Заполните таблицу самостоятельно, опираясь на новые знания.
А можем ли сейчас дать определение видам треугольников? (Да)
Равносторонний - треугольник, у которого все три стороны равны.
Равнобедренный - треугольник, у которого равны хотя бы две стороны. Равнобедренным треугольником является и равносторонний треугольник.
Разносторонний - треугольник, у которого все стороны разные.
Проверьте свои определения с.73 -учебник. (Проверяют.)
Верно ли вы составили определения? (Да.)
5.Первичное закрепление с проговариванием во внешней речи
Выполните задание из учебника с.74 (под?)
1)Разносторонние: 2,3,5
2)Равнобедренные: 1, 4 , 6, 7
(Учащиеся записывают в тетради. По очереди говорят ответы, аргументируя. Образец фиксируется на доске).
6.Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону.
Выполнение задания самостоятельно. По окончанию работы - самопроверка по образцу (на доске или на индивидуальных карточках).
№1.Заполни таблицу , схематично изобрази треугольники.
№2.Выпиши номера:
1)Разносторонних треугольников.
2)Равнобедренных, из выписанных номеров подчеркни номера равносторонних треугольников.
Эталон:
Задание №1:
Задание №2:
1)Разносторонние треугольники: 2,3,4
2)Равнобедренные треугольники (подчеркнут номер равностороннего треугольника): 1, 5
7.Включение в систему знаний и повторение
На песке мальчик нарисовал треугольники и зашифровал слова, найди значения выражений, записанные в треугольниках. Сначала решай те, которые записаны в разносторонних треугольниках, а потом в равнобедренных треугольниках. И отгадаешь зашифрованные слова.
Подсказка: Запиши числа в порядке возрастания и слова у тебя получатся.
Карточка:
Решение:
Ответ: Виды треугольников
8.Рефлексия учебной деятельности.
Нарисуй соответственно пирамиду знаний, состоящую из 7 уровней. Каждый уровень - это ответ на вопрос.
Ответьте на вопросы:
1)Ребята, что такое вы записали «виды треугольников»? (Тему нашего урока)
2)Какова была наша цель? (Узнать, как называются все 3 вида треугольников, научиться определять эти виды по измерениям длин сторон.)
3)Какие виды треугольников вы узнали? (разносторонний, равнобедренный, равносторонний)
4) А почему они так называются?
( Равносторонний - треугольник, у которого все стороны равны.
Равнобедренный - треугольник, у которого хотя бы две стороны равны, в том числе и равносторонний треугольник, потому что у него есть две равные стороны.)
Разносторонний - треугольник, у которого все стороны разные.)
5) Научились схематично изображать все виды треугольников? (Да, на самостоятельной работе.)
6) Какие открытия вы сегодня сделали? (Новые виды треугольников, их названия.)
7) Ребята, а вы сможете определить вид треугольника по его измерениям? (Да) Я вам сейчас буду говорить измерения, а вы поднимать вверх карточку с названием вида треугольника (карточки выданы дополнительно- по 3 карточки.)
1. 2см, 3см,5 см.- разносторонний
2. 4см, 4см, 2 см - равнобедренный
3.6см, 6см,6см - равносторонний, равнобедренный
Поднимите руки, кто сегодня достиг вершины этого знания? (Поднимают)
А поднимите руки, кому не хватило 1, 2 уровней. (Поднимают.)
(Учитель анализирует «пирамиды знаний у детей, делает выводы - какой уровень западает и на следующем уроке начинает актуализацию знаний с этого.)
Некоторый треугольник , в котором все стороны не одинаковой длины, принято называть разносторонними .
Треугольник, с двумя одинаковыми сторонами обозначают как равнобедренный . Одинаковые стороны принято именовать боковыми , третью сторону - основанием. В равной мере будет верным и такое определение основания треугольника - это сторона равнобедренного треугольника, которая не равна двум другим сторонам.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равновелики. Высота , медиана , биссектриса равнобедренного треугольника, прочерченные к его основанию, совмещаются.
Треугольник , со всеми одинаковыми сторонами, обозначают как равносторонние или правильные . В равностороннем треугольнике все углы по 60°, а центры вписанной и описанной окружности совмещены.
Типы треугольников в зависимости от параметров углов.
Треугольник , в котором только углы меньше 90 0 (острые), именуют остроугольным .
Треугольник, в котором представлен угол 90 0 , именуют прямоугольным . Стороны треугольника, формирующие прямой угол, принято обозначать катетами , а сторона расположенная напротив прямого угла - гипотенузой .
Треугольник. Остроугольный, тупоугольный и прямоугольный треугольник.
Катеты и гипотенуза. Равнобедренный и равносторонний треугольник.
Сумма углов треугольника.
Внешний угол треугольника. Признаки равенства треугольников.
Замечательные линии и точки в треугольнике: высоты, медианы,
биссектрисы,срединны e перпендикуляры, ортоцентр,
центр тяжести, центр описанного круга, центр вписанного круга.
Теорема Пифагора. Соотношение сторон в произвольномтреугольнике.
Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами (или тремя углами). Стороны треугольника обозначаются часто малыми буквами, которые соответствуют заглавным буквам, обозначающим противоположные вершины.
Если
все
три
угла острые
(рис.20
),
то
это
остроугольный треугольник
.
Если один из углов прямой
( C, рис.21),
то это прямоугольный треугольник
;
стороны
a
,
b
,
образующие прямой угол, называются катетами
; сторона
c
,
противоположная прямому углу, называется гипотенузой
. Если один из
углов
тупой
( B,
рис.22),
то это
тупоугольный треугольник.
Треугольник
ABC
(рис.23) -
равнобедренный
,
если две
его стороны равны (a
=
c
); эти равные стороны
называются боковыми
, третья сторона называется основанием
треугольника. Треугольник
ABC
(рис.24) –
равносторонний
,
если все
его стороны равны (a
=
b
=
c
). В
общем случае
(a
≠ b
≠ c
)
имеем
неравносторонний
треугольник.
Основные свойства треугольников. В любом треугольнике:
1. Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.
2. Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот.
В частности, все углы в равностороннем треугольнике равны.
3. Сумма углов треугольника равна 180 º .
Из двух последних свойств следует, что каждый угол в равностороннем
треугольнике равен 60 º.
4. Продолжая одну из сторон треугольника (AC, рис.25), получаем внешний
угол BCD. Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов,
не смежных с ним : BCD = A + B.
5. Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше
их разности (a < b + c , a > b – c ;b < a + c , b > a – c ;c < a + b ,c > a – b ).
Признаки равенства треугольников.
Треугольники равны, если у них соответственно равны:
a ) две стороны и угол между ними;
b ) два угла и прилегающая к ним сторона;
c ) три стороны.
Признаки равенства прямоугольных треугольников.
Д ва прямоугольных треугольника равны, если выполняется одно из следующих условий:
1) равны их катеты;
2) катет и гипотенуза одного треугольника равны катету и гипотенузе другого;
3) гипотенуза и острый угол одного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого;
4) катет и прилежащий острый угол одного треугольника равны катету и прилежащему острому углу другого;
5) катет и противолежащий острый угол одного треугольника равны катету и противолежащему острому углу другого.
Замечательные линии и точки в треугольнике.
Высота треугольника - это перпендикуляр, опущенный из любой вершины на противоположную сторону ( или её продолжение ). Эта сторона называется основанием треугольника . Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке , называемой ортоцентром треугольника. Ортоцентр остроугольного треугольника (точка O , рис.26) расположен внутри треугольника, а ортоцентр тупоугольного треугольника (точка O , рис.27) – снаружи; ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла.
Медиана – это отрезок , соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Три медианы треугольника (AD , BE , CF , рис.28) пересекаются в одной точке O , всегда лежащей внутри треугольника и являющейся его центром тяжести. Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
Биссектриса – это отрезок биссектрисы угла от вершины до точки пересечения с противоположной стороной. Три биссектрисы треугольника (AD , BE , CF , рис.29) пересекаются в одной точке О, всегда лежащей внутри треугольника и являющейся центром вписанного круга (см. раздел «Вписанные и описанные многоугольники»).
Биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам ; например, на рис.29 AE : CE = AB : BC .
Срединный перпендикуляр – это перпендикуляр, проведенный из средней точки отрезка (стороны). Три срединных перпендикуляра треугольника АВС (KO , MO , NO , рис.30 ) пересекаются в одной точке О, являющейся центром описанного круга (точки K , M , N – середины сторон треугольника ABC ).
В остроугольном треугольнике эта точка лежит внутри треугольника; в тупоугольном – снаружи; в прямоугольном - в середине гипотенузы. Ортоцентр, центр тяжести, центр описанного и центр вписанного круга совпадают только в равностороннем треугольнике.
Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.
Доказательство теоремы Пифагора с очевидностью следует из рис.31. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с катетами a , b и гипотенузой c .
Построим квадрат AKMB , используя гипотенузу AB как сторону. Затем продолжим стороны прямоугольного треугольника ABC так, чтобы получить квадрат CDEF , сторона которого равна a + b . Теперь ясно, что площадь квадрата CDEF равна (a + b ) 2 . С другой стороны, эта площадь равна сумме площадей четырёх прямоугольных треугольников и квадрата AKMB , то есть
c 2 + 4 (ab / 2) = c 2 + 2 ab ,
отсюда ,
c 2 + 2 ab = (a + b ) 2 ,
и окончательно имеем:
c 2 = a 2 + b 2 .
Соотношение сторон в произвольном треугольнике.
В общем случае (для произвольного треугольника) имеем:
c 2 = a 2 + b 2 – 2ab · cos C,
где C – угол между сторонами a и b .
Еще дети дошкольного возраста знают, как выглядит треугольник. А вот с тем, какие они бывают, ребята уже начинают разбираться в школе. Одним из видов является тупоугольный треугольник. Понять, что это такое, проще всего, если увидеть картинку с его изображением. А в теории это так называют "простейший многоугольник" с тремя сторонами и вершинами, одна из которых является
Разбираемся с понятиями
В геометрии различают такие виды фигур с тремя сторонами: остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники. При этом свойства этих простейших многоугольников одинаковы для всех. Так, для всех перечисленных видов будет соблюдаться такое неравенство. Сумма длин любых двух сторон обязательно будет больше протяженности третьей стороны.
Но для того чтобы быть уверенным, что речь идет именно о законченной фигуре, а не о наборе отдельных вершин, необходимо проверить, чтобы соблюдалось основное условие: сумма углов тупоугольного треугольника равняется 180 о. Это же верно и для других видов фигур с тремя сторонами. Правда, в тупоугольном треугольнике один из углов будет еще больше 90 о, а два оставшихся обязательно будут острыми. При этом именно наибольший угол будет находиться напротив самой длинной стороны. Правда, это далеко не все свойства тупоугольного треугольника. Но и зная лишь эти особенности, школьники могут решать многие задачи по геометрии.
Для каждого многоугольника с тремя вершинами верно и то, что, продолжая любую из сторон, мы получим угол, размер которого будет равен сумме двух несмежных с ним внутренних вершин. Периметр тупоугольного треугольника рассчитывается так же, как и для других фигур. Он равняется сумме длин всех его сторон. Для определения математиками были выведены различные формулы, в зависимости от того, какие изначально присутствуют данные.
Правильное начертание
Одним из важнейших условий решения задач по геометрии является верный рисунок. Часто учителя математики говорят о том, что он поможет не только наглядно представить, что дано и что от вас требуется, но на 80% приблизиться к правильному ответу. Именно поэтому важно знать, как построить тупоугольный треугольник. Если вам нужна просто гипотетическая фигура, то вы можете нарисовать любой многоугольник с тремя сторонами так, чтобы один из углов был больше 90 о.
Если даны определенные значения длин сторон или градусы углов, то чертить тупоугольный треугольник необходимо в соответствии с ними. При этом необходимо стараться максимально точно изобразить углы, высчитывая их при помощи транспортира, и пропорционально данным в задании условиям отобразить стороны.
Основные линии
Зачастую школьникам мало знать только то, как должны выглядеть те или иные фигуры. Они не могут ограничиться лишь информацией о том, какой треугольник тупоугольный, а какой прямоугольный. Курсом математики предусмотрено, что их знания об основных особенностях фигур должны быть более полными.
Так, каждому школьнику должно быть понятно определение биссектрисы, медианы, серединного перпендикуляра и высоты. Кроме того, он должен знать и их основные свойства.
Так, биссектрисы делят угол пополам, а противоположную сторону - на отрезки, которые пропорциональны прилегающим сторонам.
Медиана делит любой треугольник на два равных по площади. В точке, в которой они пересекаются, каждая из них разбивается на 2 отрезка в пропорции 2: 1, если смотреть от вершины, из которой она вышла. При этом большая медиана всегда проведена к его наименьшей стороне.
Не меньше внимания уделяется и высоте. Это перпендикуляр к противоположной от угла стороне. Высота тупоугольного треугольника имеет свои особенности. Если она проведена из острой вершины, то она попадает не на сторону этого простейшего многоугольника, а на ее продолжение.
Серединный перпендикуляр - это отрезок, который выходит из центра грани треугольника. При этом он расположен к ней под прямым углом.
Работа с окружностями
В начале изучения геометрии детям достаточно понять, как начертить тупоугольный треугольник, научиться отличать его от остальных видов и запомнить его основные свойства. А вот старшеклассникам этих знаний уже мало. Например, на ЕГЭ часто встречаются вопросы про описанные и вписанные окружности. Первая из них касается всех трех вершин треугольника, а вторая имеет по одной общей точке со всеми сторонами.
Построить вписанный или описанный тупоугольный треугольник уже намного сложнее, ведь для этого необходимо для начала выяснить, где должен находиться центр окружности и ее радиус. Кстати, необходимым инструментом станет в этом случае не только карандаш с линейкой, но и циркуль.
Те же сложности возникают при построении вписанных многоугольников с тремя сторонами. Математиками были выведены различные формулы, которые позволяют определить их месторасположение максимально точно.
Вписанные треугольники
Как уже было сказано ранее, если круг проходит через все три вершины, то это называется описанной окружностью. Главным ее свойством является то, что она единственная. Чтобы выяснить, как должна располагаться описанная окружность тупоугольного треугольника, необходимо помнить, что ее центр находится на пересечении трех серединных перпендикуляров, которые идут к сторонам фигуры. Если в остроугольном многоугольнике с тремя вершинами эта точка будет находиться внутри него, то в тупоугольном - за его пределами.
Зная, например, что одна из сторон тупоугольного треугольника равна его радиусу, можно найти угол, который лежит напротив известной грани. Его синус будет равен результату от деления длины известной стороны на 2R (где R - это радиус окружности). То есть sin угла будет равен ½. Значит, угол будет равен 150 о.
Если вам необходимо найти радиус описанной окружности тупоугольного треугольника, то вам пригодятся сведения о длине его сторон (c, v, b) и его площади S. Ведь радиус высчитывается так: (c х v х b) : 4 х S. Кстати, неважно, какого именно у вас вида фигура: разносторонний тупоугольный треугольник, равнобедренный, прямо- или остроугольный. В любой ситуации, благодаря приведенной формуле, вы можете узнать площадь заданного многоугольника с тремя сторонами.
Описанные треугольники
Также довольно часто приходится работать со вписанными окружностями. По одной из формул, радиус такой фигуры, умноженный на ½ периметра, будет равняться площади треугольника. Правда, для ее выяснения вам необходимо знать стороны тупоугольного треугольника. Ведь для того чтобы определить ½ периметра, необходимо сложить их длины и разделить на 2.
Чтобы понять, где должен находиться центр круга, вписанного в тупоугольный треугольник, необходимо провести три биссектрисы. Это линии, которые делят углы пополам. Именно на их пересечении и будет находиться центр окружности. При этом он будет равноудален от каждой из сторон.
Радиус такой окружности, вписанной в тупоугольный треугольник, равняется из частного (p-c) х (p-v) х (p-b) : p. При этом p - это полупериметр треугольника, c, v, b - его стороны.
